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Dienstag, 18. April 2006

Menschlicher Zufall

Menschen irren sich manchmal in der Einschätzung von Zufallsprozessen.


Einfache Zufallssituationen werden vom Menschen korrekt verrechnet.

Es ist uns intuitiv klar, dass die Chance auf "Kopf" beim Münzwurf 50% beträgt, d.h. dass etwa die Hälfte aller Würfe Kopf sein wird. Schon über das "etwa" und die konkrete Abfolge besteht weniger Klarheit.

Wenn wir 100 Würfe ausführen und das Ergebnis 45 Kopf und 55 Adler ergeben würde, würden wir das noch akzeptieren, bei 35:65 würden uns Zweifel ob der Korrektheit der Ausführung kommen. Aber ganz ausschließen könnten wir das Ergebnis nicht, denkbar ist es! Und wie steht es mit einem 0:100? Niemand würde ernsthaft glauben, dass es möglich ist, 100 man hintereinander "Adler" zu werfen. Und wenn auch die Wahrscheinlichkeit sehr klein ist, auszuschließen ist auch dieser Fall nicht.

Wenn man die Ergebnisse eines Münzwurfs verschiedenen Personen vorlegt, werden sie eine Schranke angeben, bis zu der man die Attribute "korrekt", "geschwindelt", "unmöglich" angeben würde.

Ähnlich ist es bei gängigen Glücksspielen wie etwa 6 aus 45.

Nehmen wir an es hätte bisher 4500 Runden dieses Spiels gegeben. Dann kämen im Mittel 100 Treffer auf jede der 45 Zahlen. Man könnte daher annehmen, dass jede der Zahlen etwa 100 mal vorgekommen ist. Die Häufigkeiten könnten sein 1:2:3:4... = 102:95:110:97...

Hier sind jetzt die realen Zahlen nach 8814 Runden (Quelle Kronen Zeitung vom 12.4.2006) und hochgerechnet auf 4500 Runden (die Anzahl 4502 kommt durch Rundungsfehler zustande).
1 186 95
2 183 93
3 213 109
4 188 96
5 211 108
6 192 98
7 220 112
8 202 103
9 182 93
10 191 98
11 196 100
12 188 96
13 184 94
14 180 92
15 189 96
16 203 104
17 209 107
18 187 95
19 185 94
20 186 95
21 185 94
22 181 92
23 191 98
24 197 101
25 197 101
26 218 111
27 207 106
28 191 98
29 205 105
30 203 104
31 208 106
32 191 98
33 189 96
34 178 91
35 178 91
36 194 99
37 202 103
38 191 98
39 210 107
40 195 100
41 192 98
42 215 110
43 232 118
44 201 103
45 188 96
 8814 4502

Min 91 Max 118

Die Häufigkeiten bewegen sich zwischen 91 und 118.

Stellen wir uns folgende Frage: Wir sollen einschätzen, welches das Ergebnis eines Münzwurf sein wird:

1. Die Münze wird gezeigt, dann folgt die Prognose, dann der Wurf

2. Die Münze wird gezeigt, dann folgt ein Probewurf, das Ergebnis wäre "Adler", dann folgt die Prognose

Im ersten Fall können wir annehmen, dass jeder korrekt sagen wird, dass beide Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, die Antwort sei also nur ein Raten.

Im zweiten Fall, nehme ich aber an, dass der Befragte den Probewurf bereits als den Beginn einer Folge sieht und in seiner Schätzung unbewusst auf den Mittelwert solcher Würfe abzielt und seine Schätzung wird in der Mehrzahl der Fälle "Kopf" sein.

In Wahrheit besteht im Bezug auf die beiden Schätzungen gar kein Unterschied.

Ein weiteres Beispiel soll das weiter illustrieren: Lassen wir jemanden das Ergebnis von Münzwürfen oder das Ergebnis des Wurfs eines Würfels simulieren. Man wird staunen, wie regelmäßig die Ergebnis ausfällt, weil der Mensch bemüht ist, den zu erwarteten Mittelwert zu treffen. Da aber sein Gedächtnis nicht so gut ausgeprägt ist, dass er sich merken könnte, was er 20 Würfe hindurch bereits gesagt hat, kann er sich gar nicht erlauben, all zu unregelmäßige Folgen aufzusagen, weil er dann seine Mittelwertbilanz nicht mehr sicherstellen kann. Was immer er anstellt, er treibt unweigerlich in eine Symmetrie seiner Schätzungen, die sich von einer echten Zufallsfolge stark entfernt.