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Freitag, 18. Mai 2007

Mathematische Unendlichkeiten

Mathematiker stehen auf Du mit der Unendlichkeit, sie kennen sogar viele verschiedene Unendlichkeiten und können sogar zeigen, dass es eine immer noch größere und daher keine größte gibt.


Vater der mathematischen Unendlichkeiten ist der Mathematiker Georg Cantor als Begründer der Mengenlehre (Georg Cantor). Auf physikalische Gegebenheiten wird natürlich nicht geachtet, es sind ja dimensionslose Größen, daher sind die Begriffe "streng" unendlich.  

Begriffe

Potenzielle und Aktuale Unendlichkeit (Grenzgebiet zwischen Philosophie und Mathematik

Potenziell Unendlich: wie die natürlichen Zahlen: es gibt einfach immer ein noch größere.

Aktual Unendlich: eine unendliche Menge an sich, auch wenn man nicht weiß, wie sie entsteht. Ein Beispiel sind die reellen Zahlen: man kann bestimmen, ob eine gegeben Zahl reell ist oder nicht, es gibt aber kein mathematischen Verfahren, alle reellen Zahlen anzugeben, wohingegen die natürlichen Zahlen sehr wohl angegeben werden können. Interessant ist folgende Aussage: "Von Konstruktivisten dagegen wird der Übergang vom potentiell zum aktual Unendlichen als die Stelle angesehen, wo der menschliche Geist den Anspruch aufgibt, noch präzise sagen zu können, womit er sich befasst."

Hier hat die Geometrie meiner Meinung nach die Nase vorn, denn die Linie umfasst tatsächlich ein Kontinuum, während die Mathematik nicht in der Lage ist, das Kontinuum der reellen Zahlen zu beschreiben. Anderseits kann die Geometrie die Linie zwar denken oder zeichnen, aber konstruieren kann sie die reellen Zahlen auch nicht.

Mächtigkeit

Die Mächtigkeit veranschaulicht die Anzahl der Elemente einen unendlichen Menge, d.h. die Art der Unendlichkeit. Es gibt einen interessanten Schlusssatz in dem Artikel, dass es nämlich keine mächtigste Menge gibt.

Abzählbar/Überabzählbar

Es ist interessant, dass die an sich unendliche Menge der natürlichen Zahlen als "abzählbar" bezeichnet wird. Trotz ihrer Unendlichkeit gibt es Mengen, die größer sind als die an sich schon unendliche Menge der natürlichen Zahlen, zum Beispiel die Menge der reellen Zahlen, die erst die Eigenschaft eines "Kontinuums" haben.

Beweise


Hier ist interessant, dass es möglich ist, mit (unendlich dünnen) Linien eine Fläche vollständig auszufüllen. Damit wird gezeigt, dass mehrdimensionale Zahlen dieselbe Mächtigkeit haben wie eindimensionale Zahlen.


Beweise, dass reelle Zahlen überabzählbar sind, d.h. Zahlen sind, bei denen zwischen allen Nachbarn sich immer eine weitere Zahl befindet, die keine Endpunkte haben und die auch keine Lücken kennen.

Algebraische und irrationale Zahlen

Während die algebraischen Zahlen abzählbar sind (das sind Zahlen, die durch ein Polynom darstellbar sind), sind irrationale Zahlen überabzählbar, es gibt sozusagen "mehr" als algebraische Zahlen (obwohl natürlich von beiden unendlich viele existieren). Interessanterweise kennen wir aber von dieser Unendlichkeit nur ganz wenige Zahlen "persönlich" (Pi, e, Winkelfunktionen, Wurzelzahlen).